Steiner feladványa

Steiner feladványa, amit Jacob Steiner vetett fel és oldott meg 1850-ben, annak a kérdésnek a megválaszolása, hogy az

$f(x)=x^{1/x}$

valós függvénynek hol van maximuma.

A maximum $x=e$-nél van, ahol e a természetes logaritmus alapját jelöli. Ezt a következőképpen lehet belátni. Mivel a természetes logaritmus szigorú monoton növekvő, $f$-nek ugyanott van a maximuma, mint $g$-nek, ahol

$g(x)=\ln f(x)={\frac {\ln x}{x}}$

A $g$ függvény deriváltja

$g'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}}$.

Azt látjuk, hogy $g'(x)$ pozitív, amikor $0<x<e$, és negatív, amikor $x>e$. Ebből következik, hogy $g(x)$ (és így $f(x)$) növekszik, amikor $0<x<e$, és csökken, amikor $x>e$. Így $x=e$ az egyetlen, globális maximuma $f(x)$-nek.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Steiner's calculus problem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Steiner, J. (1850). „Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl”. Crelle 40, 208. o. 
• Eric W. Weisstein: Steiner's Problem. MathWorld. (Hozzáférés: 2010. december 8.)